វិញ្ញាសា​ប្រលងឧត្តមនៅវៀតណាម

វិញ្ញាសារទី​១

-កំនត់និយមន័យឌីផេរ៉ង់ស្យែល​ និង​ អាំងតេក្រាលមិនកំនត់។បង្ហាញរូបមន្តអាំងតេ​ ក្រាលដោយផ្នែក។
-គណនាលីមីតខាងក្រោមៈ
ក-​​​ \displaystyle \lim_{x \to \frac{ \pi}{3}} \frac{sin(x- \frac{ \pi}{3})}{1-2cosx}

ខ- \displaystyle \lim_{x \to 0} (x+e^{2x})^{ \frac{1}{x}}

-គេអោយ​អនុគមន៍ \displaystyle y= \frac{lnx}{x}
ក-គណនា dy,d^{2}y
ខ-រកសមីការអាសីមតូត
គ-រកបរមានៃអនុគមន៍
-គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖
ក-A= \int \displaystyle \frac{1+e^{arctgx}}{1+x^{2}}dx
ខ-B= \int \displaystyle \frac{x-1}{x^{2}+x+1}dx
គ-C= \int \displaystyle \frac{x+sinx}{1+cosx}dx

– ក-ឧបមាថា​ f(x) ជាអនុគមន៍សេស​ ហើយមានដេរីវេ។បង្ហាញដេរីវេរបស់វាជាអនុគមន៍គូ
ខ-ឧបមាថា​ f(x) ជាអនុគមន៍ខួបជាមួយខួប​ T​ ហើយមានដេរីវេ។បង្ហាញដេរីវេរបស់វាជាអនុគមន៍ខួបមានខួប​ T
-​គេអោយ Z=arctg \displaystyle \frac{y}{x}+ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} ។ចូរគណនា៖
dz(1,0) A=(x+y)z'_{x}-(x-y)z'_{y}
d^{2}z(1,0) B=z''_{xx}+z''_{yy}

លើយវិញ្ញាសារទី១

-និយមន័យឌីផេរ៉ង់ស្យែល:
គេអោយអនុគមន៍ f(x) កំនត់ក្នុងចនោ្លះបើក ]a,b[;គេនិយាយថាអនុគមន៍ F(x)​ កំនត់លើ ]a,b[​ ជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃ f(x) បើ F(x) មានដេរីវេលើ ]a,b[ និង F'(x)=f(x) រឺ dF(x)=f(x)dx ជាមួយ \forall x \in ]a,b[
-និយមន័យអាំងតេក្រាលកំនត់:
គេអោយអនុគមន៍ f(x) កំនត់​និងទាល់ក្នុងចនោ្លះបិទ​[a,b],ចែក[a,b]ជាចនោះតូចៗ:x_{o} \equiv a<...<...  [latex x_{i-1},x_{i}$] រើសចំនុច \zeta_{i}ណាមួយ:
x_{i-1} \leq \zeta_{i} \leq x_{i},(i=1,2,…,n)
នោះគេបាន:
\sigma := \displaystyle \sum_{i=1}^{n} f( \zeta_{i}) \Delta x_{i}ដែល \Delta x_{i}:=x_{i}-x_{i-1},(i= \overline{1,n})
កំនត់សរសេរដោយ:I= \int_{a}^{b} f(x)dx
-បង្ហាញរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក:
ឧបមាថា u=f(x) និង v=g(x) ជាអនុគមន៍ពីរមានដេរីវេ ហើយ u’=f’(x);v’=g’(x) ជាពីរអនុគមន៍ជាប់។ពេលនោះតាមដេរីវេនៃផលគុណ:d(uv)=vdu+udv​ រឺ udv=d(uv)-vdu;ដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់ d(uv) គឺ uv គេបាន:
\int udv=uv- \int vdu-គណនាលីមីត:
ក) I= \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{sin(x- \frac{ \pi}{3})}{1-2cosx},ប្តូរសមមូល​ sin(x- \dfrac{ \pi}{3}) \sim x- \dfrac{ \pi}{3},(x- \dfrac{ \pi}{3} \rightarrow 0)រួចប្រើទ្រឹសី្តបទ Lopital គេបាន:
I= \displaystyle \lim_{x \to \frac{ \pi}{3}} \frac{x- \frac{ \pi}{3}}{1-2cosx}= \lim_{x \to \frac{ \pi}{3}} \frac{1}{2sinx}= \frac{1}{ \sqrt{3}}

ខ) \displaystyle \lim_{x \to 0} (x+e^{2x})^{ \frac{1}{x}}=e^{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}ln(x+e^{2x})}

=e^{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ln(x+e^{2x}-1+1)}{x}}

=e^{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x+e^{2x}-1}{x}}=e^{ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1+2e^{2x}}{1}}=e^{3}

ដូចនេះ​J=e^{3}

៣)-ក- y'= \displaystyle ( \frac{lnx}{x})'= \frac{ \frac{1}{x}x-lnx}{x^{2}}= \frac{1-lnx}{x^{2}}
y''= \displaystyle \frac{- \frac{1}{x}.x^{2}-(1-lnx)2x}{x^{4}}= \frac{-1-(1-lnx).2}{x^{3}}= \frac{-3+2lnx}{x^{3}}
ដូចនេះdy= \dfrac{1-lnx}{x^{2}}dx,d^{2}y= \dfrac{2lnx-3}{x^{3}}dx^{2}.
-ខ- អាស៊ីមតូតឈរគឺ:
\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{lnx}{x}= \infty
\Rightarrow x=0គឺជាអាស៊ីមតុតឈរ។
-អាស៊ីមតុតដេក:
ដោយ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{lnx}{x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{ \frac{1}{x}}{1}=0
Rightarrow y=0គឺជាអាស៊ីមតូតដេក។
-គ- +y’=0 ពេល 1-lnx=0 នោះ x=e
+ដោយ​ y”(e)= \dfrac{-3+2}{e^{3}}  latex y_{max}=y(e)= \dfrac{1}{e}$

៤)-ក- A=\int \displaystyle \frac{dx}{1+x^{2}}+ \int \frac{e^{arctgx}}{1+x^{2}}dx=arctgx+ \int e^{arctgx}d(arctgx)=arctgx+e^{arctgx}+c

-ខ- B= \int \displaystyle \frac{x-1}{(x+ \frac{1}{2})^{2}+ \frac{3}{4}}dx= \int \frac{t- \frac{3}{2}}{t^{2}+ \frac{3}{4}}dt \quad (x+ \frac{1}{2}=t)

=\int \displaystyle \frac{tdt}{t^{2}+ \frac{3}{4}}- \frac{3}{2} \int \frac{dt}{t^{2}+ \frac{3}{4}}= \frac{1}{2}ln(t^{2}+ \frac{3}{4})- \frac{3}{2}. \frac{2}{ \sqrt{3}}arctg \frac{2t}{ \sqrt{3}}+c

=\displaystyle \frac{1}{2}ln(x^{2}+x+1)- \sqrt{3} arctg \frac{2x+1}{ \sqrt{3}}+c

-គ- C=\int \displaystyle \frac{x+2sin \frac{x}{2}.cos \frac{x}{2}}{2cos^{2} \frac{x}{2}}dx= \int \frac{x}{cos^{2} \frac{x}{2}}d \frac{x}{2}+ \int \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}}dx

=\displaystyle \int xdtg \frac{x}{2}+ \int tg \frac{x}{2}dx=xtg \frac{x}{2}- \int tg \frac{x}{2}dx+ \int tg \frac{x}{2}dx

=xtg \dfrac{x}{2}+c

៥)-ក- យើងមាន :f(-x)=-f(x), \forall x.ដេរីវេតាម x​​ គេបាន:
-f’(x)=-f’(x) រឺ f’(-x)=f’(x) \Rightarrow f(x)​ គឺជាអនុគមន៍គូ។
-ខ- យើងមាន f(x+T)=f(x),\forall x.ដេរីវេតាម x គេបាន:
f’(x+T)=f’(x) \Rightarrow f(x) ក៏ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T។

៦) គណនាដេរីវេរបស់ z:

z'_{x}= \dfrac{x-y}{x^{2}+y^{2}}; \quad z'_{y}= \dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}
ពីនោះយើងមាន​ z'_{x}(1,0)=z'_{y}(1,0)=1នោះ dz(1,0)=dx+dy
និង A=(x+y) \dfrac{x-y}{x^{2}+y^{2}}-(x-y) \dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}=0. លើសពីនេះទៀត:

z''_{xx}= \dfrac{y^{2}+2xy-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}; \quad z''_{yy}= \dfrac{x^{2}-2xy-y^{2}}{x^{2}-y^{2}}.

z''_{xy}= \dfrac{-x^{2}-2xy+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}; \quad z''_{xx}(1,0)=-1=-z''_{yy}=+z''{xy}

នោះ d^{2}z(1,0)=-dx^{2}-2dxdy+dy^{2}និង B=0.

១- គណនាលីមីតខាងក្រោម៖
a) \quad \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{arctgx}{sinx-x} \quad b) \quad \displaystyle \lim_{x \to 1}(1-x)^{cos \frac{ \pi}{2}x}.

២- គេអោយអនុគមន៍ y=x^{2}e^{-x}.

a)គណនា dy, \quad d^{2}y.
b)រកសមីការអាស៊ីមតូត។
c)រកបរិមានៃអនុគមន៍។

៣-គណនាអាំតេក្រាលខាងក្រោម៖

a)A= \int \dfrac{1+sin2x}{sin^{2}x}dx

b)B= \int \dfrac{x+1}{x^{2}-x+1}dx

c)C= \int xln \dfrac{1-x}{1+x}dx.

៤-​​ ​ឧបមាថាអនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍គូ និងមានដេរីវេ។បង្ហាញថាដេរីវេរបស់វាជា អនុគមន៍សេស និងកាត់ត្រង់x=0។

៥- គេអោយ Z=e^{x+y}sin(x-y).គណនា dz(0,0).
ពិនិត្យឡើងវិងនូវ សមភាព: z.z''_{xx}-z_{x}^{'2}=z.z''_{yy}-z_{y}^{'2}
បង្ហាញសមភាពខាងក្រោម៖
a^{2}(z.z''_{xx}-z_{x}^{'2})=b^{2}(zz''_{yy}-z_{y}^{'2})ពេល z=f(ay+bx). \varphi (bx-ay)
ជាមួយf, \varphiជាអនុគមន៍មានដេវិវេពីរដង; a \neq 0, b \neq 0.

ចំលើយវិញ្ញាសារទី២

១- គណនាលីមីត៖a) \quad I= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{arctgx}{sinx-x}= \lim_{x \to 0} \frac{1}{(1+x^{2})(cosx-1)}= \infty

b) \quad J= \displaystyle \lim_{x \to 1} (1-x)^{cos \frac{ \pi}{2}x}=e^{ \displaystyle \lim_{x \to 1} cos \frac{ \pi}{2}xln(1-x)}

=e^{ \displaystyle \lim_{t \to 0} cos \frac{ \pi}{2}(1-t)lnt} (តាង 1-x=t)

=e^{ \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{sin \frac{ \pi}{2}t}{ \frac{1}{lnt}}}=e^{ \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{ \frac{ \pi}{2}t}{ \frac{1}{lnt}}}=e^{ \dfrac{ \pi}{2} \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{lnt}{ \frac{1}{t}}}

=e^{ \dfrac{ \pi}{2} \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1}{t(- \frac{1}{t^{2}})}}=e^{ \dfrac{ \pi}{2} \displaystyle \lim_{t \to 0}t}=e^{0}.

ដូចនេះI=1.

២-​ a)គណនា៖

y'=2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}=xe^{-x}(2-x).
y''=(e^{-x}-xe^{-x})(2-x)-xe^{-x}=e^{-x}(x^{2}-4x+2)

ដូចនេះ : \quad dy=xe^{-x}(2-x)dx, \quad d^{2}y=e^{-x}(x^{2}-4x+2)dx^{2}.

b)+គ្នានអាស៊ីមតូតឈរទេ ព្រោះគ្នានចំនុចដាច់អនន្ត។
+អាស៊ីមតូតដេក និងអាស៊ីមតូតទ្រេត៖

ដោយ:\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^{2}e^{-x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}=0

នោះy=0 ជាអាស៊ីមតូតដេកខាងស្តាំ។
ខាងឆ្វេង:x \rightarrow -\infty \Rightarrow y \rightarrow \infty​ អាចមានអាស៊ីមតូតទ្រេត ប៉ុន្តែ:

a= \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2}e^{-x}}{x}= \inftyនោះគ្នានអាស៊ីមតូតទ្រេតទេ។

c)គណនាបរិមា:
y'=0 \Rightarrow x_{1}=0, x_{2}=2;
y''(0)=2 > 0 \Rightarrow x_{1}=0 ជាចំនុចអប្បបរិមា​ y_{min}=y(0)=0.

y''(2)=e^{-2}(-2) < 0 \Rightarrow x_{2}=2 ជាចំនុចអតិប្បរិមា \Rightarrow y_{max}=y(2)=4e^{-2}.

៣-​​ គណនា៖

a)A= \int \dfrac{dx}{sin^{2}x}+ \int \dfrac{2sinxcosx}{sin^{2}x}dx=-cotgx+2 \int \dfrac{d(sinx)}{sinx}

A=-cotgx+2ln|sinx|+c.

b)B= \int \dfrac{x+1}{x^{2}-x+1}dx= \int \dfrac{x+1}{(x- \dfrac{1}{2})^{2}+ \dfrac{3}{4}}dx

តាង t=x- \dfrac{1}{2}គេបាន:

B= \int \dfrac{t+ \dfrac{3}{2}}{t^{2}+ \dfrac{3}{4}}dt

= \int \dfrac{tdt}{t^{2}+ \dfrac{3}{4}}+ \dfrac{3}{2} \int \dfrac{dt}{t^{2}+ \dfrac{3}{4}}= \dfrac{1}{2}ln(t^{2}+ \dfrac{3}{4})+ \dfrac{3}{2}. \dfrac{2}{ \sqrt{3}}arctg \dfrac{2t}{ \sqrt{3}}+c

= \dfrac{1}{2}ln(x^{2}-x+1)+ \sqrt{3}arctg \dfrac{2x-1}{ \sqrt{3}}+c.

c)C= \int xl \dfrac{1-x}{1+x}dx= \int x[(1-x)-ln(1+x)]dx

= \int ln(1-x)dx- \int xln(1+x)dx= \dfrac{1}{2} \int ln(1-x)dx^{2}- \dfrac{1}{2} \int ln(1+x)dx^{2}

= \dfrac{1}{2}x^{2}ln(1-x)+ \dfrac{1}{2} \int x^{2} \dfrac{1}{1-x}dx- \dfrac{1}{2}x^{2}ln(1+x)+ \dfrac{1}{2} \int \dfrac{x^{2}}{1+x}dx

= \dfrac{1}{2}x^{2}ln \dfrac{1-x}{1+x}+ \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2x^{2}}{1-x^{2}}dx

= \dfrac{1}{2}x^{2}ln \dfrac{1-x}{1+x}+ \int (1- \dfrac{1}{1-x^{2})}dx

\dfrac{1}{2}x^{2}ln \dfrac{1-x}{1+x}-x+ \dfrac{1}{2}ln \dfrac{1+x}{1-x}+c

=-x+ \dfrac{1}{2}(x^{2}-1)ln \dfrac{1-x}{1+x}+c.

៤-​ បង្ហាញថាf’(x)ជាអនុគមន៍សេស:
យើងមាន:f(-x)=f(x)ជាមួយ \forall x \Rightarrowដេរីវេអង្គទាំងពីរគេបាន:
-f’(x)=f’(x) រឺ f’(-x)=-f’(x).នោះf’(x)ជាអនុគមន៍សេស។
ជំនួសx=0 គេបាន:f’(0)=-f’(0)\Rightarrow f’(0)=0.

៥-​ គណនាdz(0,0):
តាម z=e^{x+y}sin(x-y) យើងមាន:

z'_{x}=e^{x+y}sin(x-y)+e^{x+y}cos(x-y), \quad z'_{x}(0,0)=1

z'_{y}=e^{x+y}sin(x-y)-e^{x+y}cos(x-y), \quad z'_{y}(0,0)=-1

z''_{xx}=2e^{x+y}cos(x-y);z''_{yy}=-2e^{x+y}cos(x-y); z''_{xy}=2e^{x+y}sin(x-y).

ពីនោះនាំអោយសមភាពត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ពេល z=f(ay+bx) \varphi (bx-ay).
យើងមាន:z'_{x}=bf'.\varphi +bf \varphi '; \quad z'_{y}=af' \varphi -af \varphi '
z''_{xx}=b^{2}f' \varphi +2b^{2}f' \varphi ' +b^{2}f \varphi ''; \quad z''_{yy}=a^{2}f'' \varphi -2a^{2}f' \varphi '+a^{2}f \varphi ''
ជំនួសចូលនោះយើងមានសមភាព:
a^{2}(z.z''_{xx}-z_{x}^{'2})=b^{2}(zz''_{yy}-z_{y}^{'2}.)ផ្ទៀងផ្ទាត់។

 

កំនែ​វិញ្ញាសា​សិស្ស​ពូកែ​គណិតវិទ្យា​វៀត​ណា​ម​២០០៩
aដំណោះស្រាយ
a