លំហាត់​នព្វន្ត

1. តើមានចំនួនគត់ធម្មជាតិ n ដែល(2+\sqrt{2})^n-\lfloor (2+\sqrt{2})^n \rfloorមានតម្លៃលើសពី 0,999 999 ឬទេ? ចម្លើយ
2. (អន្តរជាតិ​សតលីស ១៩៩១)
គណនាឫសគត់វិជ្ជមាន x,y,z របស់សមីការ 3^x+4^y=5^z
ចម្លើយ
3. ចូរ​កំណត់​ចំនួន​មាន​លេខ​៦​ខ្ទង់ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់​ ពេល​គុណចំនួន​នេះ​​នឹង ២,៣,៤,៥ ឬ ៦ គេ​ទទួល​បាន​លេខ​មាន​តួលេខ​ដូច​គ្នា​នឹង​ចំនួន​មុន​គុណ (តែ​មាន​លំដាប់​លំដោយខុសគ្នា)។ ចម្លើយ
4. ចូរបង្ហាញថា 2222^{5555}+5555^{2222} ចែកដាច់នឹង 7 ចម្លើយ
5. តាង n=2^{31}3^{19} ។ តើ​មាន​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន​ចំនួន​ប៉ុន្មាន​ដែល​ជា​តួ​ចែក​របស់ n^2 ហើយ​មាន​តំលៃតូច​ជាង n និងចែក n មិន​ដាច់? ចម្លើយ
6. (កម្ពុជា ២០០៩)
បង្ហាញថា 3^{2n}+2^{6n-5} ចែកដាច់នឹង 11 ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន n
ចម្លើយ
7. (កម្ពុជា ២០០៩)
គេឱ្យចំនួនគត់វិជ្ជមាន a និង b ដែល 2a^2+a=3b^2+b ។ បង្ហាញថា a-b;2a+2b+1 និង 3a+3b+1 សុទ្ធតែជាចំនួនការេ។
ចម្លើយ
8. (ភ្នំពេញ ២០១០)
ផលគុណនៃ 7 នឹងចំនួនដែលមាន 6 ខ្ទង់ \overline{abcdef} ស្មើនឹងផលគុណនៃ 6 នឹងចំនួនដែលមាន 6 ខ្ទង់ \overline{defabc}។ រកចំនួនដែលមាន 6 ខ្ទង់ទាំងពីរ។
ចម្លើយ
9. (AIME 2010)
គណនា​សំណល់​នៃ​វិធី​ចែក 9 \times 99 \times 999 \times \dotsi 99\dotsi 9 នឹង 1000
ចម្លើយ
10. (AIME 2010)
ម៉ាយ៉ាធ្វើ​បញ្ជី​តួ​ចែក​វិជ្ជមាន​ទាំង​អស់​របស់ 2010^2។ បន្ទាប់​មក​ នាង​ជ្រើស​រើស​ដោយ​ចៃដន់​នូវ​តួ​ចែក​ពីរ​ផ្សេង​គ្នា​ចេញ​ពី​បញ្ជី​នេះ។ តាង​ p ជា​ប្រូប្រាប៊ីលីតេ​ដែល​ក្នុង​ចំណោម​តួចែក​ទាំង​ពីរ​នោះ មាន​តួចែក​មួយ​និង​តែមួយ​គត់​ដែល​ជា​ចំនួន​ការេ។ ប្រូប្រាប៊ីលីតេ p នេះ​អាច​សរសេរ​ជា​រាង \frac{m}{n} បាន ដែល​ក្នុង​នេះ m បឋម​នឹង n ហើយ​ជា​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន​ទាំង​ពីរ។ គណនា m+n
ចម្លើយ
11. (អន្តរជាតិ ឡងលីស ១៩៦៧ ; ភ្នំពេញ ២០១០)
គេឱ្យចំនួនគត់\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\underbrace{11\dotsi 1}_{2010}0\underbrace{77\dotsi 7}_{2010}8\underbrace{11\dotsi 1}_{2010}\right)គណនា \sqrt[3]{A}
ចម្លើយ
12. (ភ្នំពេញ ២០១០)
គេឱ្យ\displaystyle N=1+10^3+\frac{10^3\left(10^3-1\right)}{1.2}+\frac{10^3\left(10^3-1\right)\left(10^3-2\right)}{1.2.3}+\dotsi+\frac{10^3\left(10^3-1\right)}{1.2}+10^3+1តើ N មានប៉ុន្មានខ្ទង់? បើដឹងថា \log{2}\approx 0,3010
ចម្លើយ
13. ចូរ​បង្ហាញ​ថា គ្រប់​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន​ទាំង​អស់ សុទ្ធ​តែ​មាន​ចំនួន​តួ​ចែក​វិជ្ជមាន​ជា​ចំនួន​គូ លើក​លែង​តែ​ចំនួន​នោះ​ ជា​ចំនួន​ការេ។ ចម្លើយ
14. បើ n ជាចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន តាង S(n) ជា​ផល​បូកតួលេខក្នុង​ខ្ទង់​នីមួយៗ​​របស់ n ។ យើងនិយាយ​ថា n ជា​ចំនួន​រុចិរ បើ​មានចំនួន​គត់វិជ្ជមាន x,y>1 ដែល xy=n និង S(x)S(y)=S(n) ។ តើ​មាន​ចំនួន​រុចិរ​មាន​លេខ​ពីរ​ខ្ទង់​ចំនួន​ប៉ុន្មាន? ចម្លើយ
15. គណនា​ចំនួន​គត់ x តូច​បំផុត ដែល x^2 មាន​លេខ​បី​ខ្ទង់​ខាង​ចុង​ដូចលេខ​បី​ខ្ទង់​ខាង​ចុង​របស់ x ចម្លើយ
16. (ភ្នំពេញ ២០១០)
ចូរពិនិត្យស្វ៊ីតខាងក្រោម
u_1=1
u_2=3+5
u_3=7+9+11
u_4=13+15+17+19
\dotsi
ចូរបង្ហាញថា គ្រប់តួទាំងអស់នៃ \{u_n\} ជាចំនួនគូប។
ចម្លើយ
17. (ភ្នំពេញ ២០១០)
ស្រាយបញ្ជាក់ថា ចំនួនគត់តូចបំផុតដែលធំជាង \left(\sqrt{3}+1\right)^{4020} ចែកដាច់នឹង 2^{2011}
ចម្លើយ
18. ចូរ​កំណត់គ្រប់​គូ​ចំនួន​គត់ (m,n) ដែលA=n^2+2mn+3m^2+3n,B=2n^2+3mn+m^2,C=3n^2+mn+2m^2ជាចំនួន​គត់​ដែល​នៅបន្ត​​គ្នាតាម​លំដាប់​ណា​មួយ។ (ឧទាហរណ៍ 2,3,4 ជា​ចំនួន​គត់​នៅ​បន្តគ្នា។ ក្នុង​សំនួរ​នេះ មិន​ចាំបាច់​តែ​លំដាប់ A,B,C បាន​យក​នោះ​ទេ) ។ ចម្លើយ
19. ចូរ​បង្ហាញ​ថា​មាន​ចំនួន​ ពហុគុណវិជ្ជមាន យ៉ាង​តិច​ចំនួន ៦៦៦ មាន​លេខ​ ២០០៦ ខ្ទង់ ដែល​ក្នុង​នោះ​មាន​ខ្ទង់​មួយ​ស្មើ ៧ រី​ឯ​ខ្ទង់​ផ្សេង​ទៀត​ស្មើ ១ ទាំង​អស់ ។ ចម្លើយ
20. (អ៊ីរ៉ង់ ២០០៨)
តាង u ជា​ចំនួន​សេស។ ចូរ​បង្ហាញ​ថា \displaystyle \frac{3^{3u}-1}{3^u-1} អាច​សរសេរ​ជា​ផលបូក​នៃ​ចំនួន​ការេ​ពីរ​បាន។
ចម្លើយ
21. (ឥណ្ឌា ២០១០)
កំណត់ស្វ៊ីត \{a_n \}_{n\ge 0} មួយដោយ a_0=0,a_1=1 និងa_n=2a_{n-1}+a_{n-2} ចំពោះ n\ge 2a) ចំពោះគ្រប់ m>0 និង 0 \le j \le m ចូរបង្ហាញថា 2a_m ចែកដាច់ a_{m+j}+(-1)^j a_{m-j}
b) សន្មតថា n និង k ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិដែល 2^k ចែកដាច់ n
ចូរបង្ហាញថា 2^k ចែកដាច់ a_n
ចម្លើយ