លំហាត់​សមីការ​អនុគមន៍

កម្រង​លំហាត់​សមីការ​អនុគមន៍

1. (អន្តរជាតិ ១៩៨៣)
ចូរកំណត់គ្រប់អនុគមន៍ f:\mathbb{R}^{+*}\to \mathbb{R}^{+*} ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់
i) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x,y : f(xf(y))=yf(x)
ii) \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=0
2. (អន្តរជាតិ សតលីស ១៩៨៧)
តាង f ជាអនុគមន៍មួយដែលផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ ៖
(i) បើ x>y និង f(y)-y \ge v \ge f(x)-x នោះ f(z)=v+z ចំពោះចំនួនពិតខ្លះឋិតនៅចន្លោះ x និង  y
(ii) សមីការ f(x)=0 មានឫសយ៉ាងតិចមួយ ហើយក្នុងចំណោមឫសនៃសមីការនេះ មានឫសមួយដែលមិនតូចជាងឫសណាមួយផ្សេងទៀត។
(iii) f(0)=1
(iv) f(1987) \le 1988
(v) f(x)f(y)=f\left(xf(y)+yf(x)-xy\right)
គណនា f(1987)
3. (អន្តរជាតិ ១៩៨៦)
ចូរកំណត់គ្រប់អនុគមន៍ f អនុវត្តន៍ពីសំណុំចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមាន ទៅសំណុំចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមាន ដែល
(i) f(xf(y)) f(y)=f(x+y)
(ii) f(2)=0 តែ f(x) \ne 0 ចំពោះ 0 \le x <2
4. (អន្តរជាតិ ១៩៩២)
ចូរកំណត់គ្រប់អនុគមន៍ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} ដែលចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x,y គេមានf\left(x^2+f(y)\right)=y+(f(x))^2
5. (អ៊ីរ៉ង់ ១៩៩៩)
ចូរកំណត់គ្រប់អនុគមន៍ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} ដែលចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x,yf\left(f(x)+y\right)=f(x^2-y)+4yf(x)
6. (អន្តរជាតិ ១៩៨២)
តាង f:\mathbb{N}^* \to \mathbb{N} ជាអនុគមន៍ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោម ៖
(i) ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ m,n>0 គេមាន f(m+n)-f(m)-f(n) \in \{0,1\}
(ii) f(2)=0; f(3)>0 និង f(9 999)=3 333
គណនា f(1982)
7. (កូរ៉េ ១៩៩៩)
ចូរកំណត់គ្រប់អនុគមន៍ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ដែល ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x \ne \pm 1 :\displaystyle f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{3+x}{1-x}\right)=x
8. (អាយឡិន្ដ ១៩៩៩)
តាង f:\mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* ដែលi) ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ a និង b ដែលបឋមរវាងគ្នា គេមាន f(ab)=f(a)f(b)
ii) ចំពោះគ្រប់ចំនួនបឋម p,q គេមាន f(p+q)=f(p)+f(q)ចូរបង្ហាញថា f(2)=2,f(3)=3 និង f(1999)=1999
9. (អន្តរជាតិ សតលីស ១៩៩៦)
តាង f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ដែលចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x គេមាន |f(x)| \le 1 និង\displaystyle f(x+\frac{13}{42})+f(x)=f(x+\frac{1}{6})+f(x+\frac{1}{7})ចូរបង្ហាញថា f ជាអនុគមន៍ខួប។
10. តាង f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ជា​អនុគមន៍​ជាប់​ ដែល​ចំពោះ​គ្រប់ចំនួន​ពិត x,yf(x+y) f(x-y)=[f(x)]^2ចូរ​បង្ហាញ​ថា f\equiv 0 ឬមិន​អ៊ីចឹង​ទេ f មិន​មាន​តម្លៃ​សូន្យ។
11. (អន្តរជាតិ សតលីស ១៩៨៩)
តាង f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} ជា​អនុគមន៍​ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់
(i) f ជា​អនុគមន៍​កើន​ដាច់​ខាត
(ii) f(mn)=f(m)f(n) ចំពោះ​គ្រប់ m,n \in \mathbb{N}
(iii) បើ m\ne n ផ្ទៀងផ្ទាត់ m^n=n^m នោះ f(m)=nf(n)=m ។គណនា f(30), f(30^{30^{30^{30}}})
12. (Putnam 1963)
ចូរកំណត់អនុគមន៍ f:\mathbb{N}\to \mathbb{N} កើនដាច់ខាត ដែល f(2)=2 និងចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ m,n ដែលបឋមនឹងគ្នាf(mn)=f(m)f(n)
13. (អន្តរជាតិ សតលីស ១៩៨៨)
ចូរកំណត់គ្រប់អនុគមន៍ f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^* ដែលចំពោះគ្រប់ m,n\in \mathbb{N}^* :f(f(n)+f(m))=n+m
14. (អន្តរជាតិ ១៩៨១; កម្ពុជា ២០០៩)
អនុគមន៍ f(x;y) មួយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌទាំងបីខាងក្រោមចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមាន x និង y :f(0;y)=1+y
f(x+1;0)=f(x;1)
f(x+1;y+1) =f(x;f(x+1;y))ក. គណនា f(1;n),f(2;n) និង f(3;n) ជាអនុគមន៍នៃ n
ខ. គណនា f(4;2009)
15. តាង f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} ដែល f(0)=1 និង
\forall x,y \in \mathbb{R}, f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2
គណនា f(2010)
16. ចូរកំនត់អនុគមន៍ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ដែលចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x :f(x^3+x)\le x \le (f(x))^3+f(x)