វិញ្ញាសារទី៤ និងចម្លើយ

១.គណនាលីមីខាងក្រោមនេះ :

a) \displaystyle\lim_{x\to\ 1}\dfrac{\sqrt[q]{x^p}-1}{\sqrt[s]{x^r}-1}, p, q, r, s\in N

b) \displaystyle\lim_{n\to\infty}cos\dfrac{x}{2}.cos\dfrac{x}{2^2}...\dfrac{x}{2^n}, x\ne 0

c) \displaystyle\lim_{x\to\ 0}x^{x^x-1}

២.គណនាដេរីវេទី n នៃអនុគមន៍ខាងក្រោម:

a) y=\dfrac{1}{a+bx}

b)y=\dfrac{1}{x^2-a^2}

c) y=e^{ax}.sinbx

៣.a) គេឲ្យ a, b, c ជាបណ្តាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា: \dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{2b}{b+c}+\dfrac{2c}{c+a}\leq 3

b). គេឲ្យបណ្តាចំនួន a, b, c មិនអវិជ្ជមាននិងផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ a+b+c=2 ។ រកតំលៃតូចបំផុតនៃកន្សោម:

Q=\dfrac{a}{3+b^2+c^2}+\dfrac{b}{3+c^2+a^2}+\dfrac{c}{3+a^2+b^2}

៤.ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម:

a) \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2+z^2+2xy-zx-zy=3\\x^2+y^2+yz-zx-2xy=-1\end{array}\right.\quad

b) \left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y+z}=\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z+x}=\dfrac{1}{3}\\ \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{4}\end{array}\right.\quad

ចំលើយ

១).គណនាលីមីតខាងក្រោម:

a).តាង x=y^{qs},x\to 1\Leftrightarrow y\to 1

យើងបាន \displaystyle\lim_{x\to\ 1}\dfrac{\sqrt[q]{x^p}-1}{\sqrt[s]{x^r}-1}=\displaystyle\lim_{y\to\ 1}\dfrac{y^{ps}-1}{y^{qr}-1}=\displaystyle\lim_{y\to\ 1}\dfrac{(y-1)(y^{ps-1}+y^{ps-2}+...+1)}{(y-1)(y^{qr-1}+y^{qr-2}+...+1)}

=\dfrac{ps}{qr}

b).យើងមាន: sinx=2sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}=4cos\dfrac{x}{2}sin\dfrac{x}{4}cos\dfrac{x}{4}

=2^2cos\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{4}sin\dfrac{x}{4}=...=2^ncos\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2^2}...cos\dfrac{x}{2^n}sin\dfrac{x}{2^n}

ដូចនោះ :cos\dfrac{x}{2}cox\dfrac{x}{2^2}...cox\dfrac{x}{2^n}=\dfrac{sinx}{2^nsin\dfrac{x}{2^n}}

ហើយ​ \displaystyle\lim_{n\to\infty}cos\dfrac{x}{2}.cos\dfrac{x}{2^2}...\dfrac{x}{2^n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{sinx}{2^nsin\dfrac{x}{2^n}}

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{sinx}{\dfrac{sin\dfrac{x}{2^n}}{\dfrac{1}{2^n}}}=\dfrac{sinx}{x}

c). យើងមាន: L=\displaystyle\lim_{x\to\ 0}x^{x^x-1}=exp[\displaystyle\lim_{x\to\ 0}(x^x-1)lnx]

ដោយ (x^x-1)lnx=(e^{xlnx}-1)lnx\thicksim xln^2x=(x^\frac{1}{2}lnx)^2\to 0(x\to 0)

បានជា L=e^0=1

២).គណនាដេរីវេទី n នៃអនុគមន៍ខាងក្រោម:

a). y=\dfrac{1}{a+bx}=(a+bx)^{-1}

y^{'}=-b(a+bx)^{-2}, y^{''}=-1.(-2).b^2(a+bx)^{-3},...

\Rightarrow y^{n}=-1.(-2)...(-1-n+1)b^n(a+bx)^{-1-n}=\dfrac{(-1)^n.n!b^n}{(a+bx)^{n+1}}

b) y=\dfrac{1}{x^2-a^2}=\dfrac{1}{(x+a)(x-a)}=\dfrac{1}{2a}(\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x+a})

y^{(n)}=\dfrac{1}{2a}[(\dfrac{1}{x-a})^{(n)}-(\dfrac{1}{x+a})^{(n)}], តាម a). ចំពោះ b=1

y^{(n)}=\dfrac{(-1)^n.n!}{2a}[\dfrac{1}{(x-a)^{n-1}}-\dfrac{1}{(x+a)^{n+1}}

c) y=e^{ax}.sinbx

យើងមាន: y^{'}=ae^{ax}sinbx+be^{ax}cosbx

តាង cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

នោះ y^{'}=\sqrt{a^2+b^2}e^{ax}(sinbxcos\varphi +cosbxsin\varphi)

រឺ y^{'}=\sqrt{a^2+b^2}e^{ax}sin(bx+\varphi)

ដោយវិធីវិចារកំណើនមានកំណត់, យើងងាយនឹងស្រាយបញ្ជាក់បានៈ

y^{(n)}=(a^2+b^2)^\frac{n}{2}.e^{ax}sin(bx+n\varphi)

ពិតជាដូចនេះ, n=1, តាមខាងលើរូបមន្តគឺត្រឹមត្រូវ .

ឧបមាថារូបមន្តនេះត្រូវចំពោះ n=k: y^{(k)}=(a^2+b^2)^\frac{k}{2}.e^{ax}sin(bx+k\varphi)

y^{k+1}=(a^2+b^2)^\frac{k}{2}.[ae^{ax}sin(bx+k\varphi)+be^{ax}cos(bx+k\varphi)]

=(a^2+b^2)^\frac{k+1}{2}.e^{ax}sin[bx+(k+1)\varphi]

មានន័យថារូបមន្តត្រឹមត្រូវចំពោះ n=k+1

ដូចនេះ រូបមន្តត្រឹមត្រូវ \forall n\in N

៣).a).តាង x=\sqrt{\dfrac{b}{a}}, y=\sqrt{\dfrac{b}{b}}, z=\sqrt{\dfrac{a}{c}}, យើងបាន x, y, z>0 និង xyz=1

វិសមភាពដែលឲ្យសមមូលនឹង \sqrt{\dfrac{2}{1+x^2}}+\sqrt{\dfrac{2}{1+y^2}}+\sqrt{\dfrac{2}{1+z^2}}\leq 3

ឧបមាថា xy\leq 1\Rightarrow z\geq 1

+យើងស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាពខាងក្រោម: \dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\leq\dfrac{2}{1+xy} (1)

ពិតជាដូចនេះ, (1)\Leftrightarrow (2+x^2+y^2)(1+xy)\leq 2(1+x^2)(1+y^2)\Leftrightarrow (1-xy)(x-y)^2\geq 0 (ពិត)

+យើងមាន: តាមវិសមភាព Bunyakovsky:

(\sqrt{\dfrac{2}{1+x^2}}+\sqrt{\dfrac{2}{1+y^2}})^2\leq 2(\dfrac{2}{1+x^2}+\dfrac{2}{1+y^2})=4[\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}]

តាមវិសមភាព (1) ទាញបាន: 4(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\leq \dfrac{8}{1+xy}=\dfrac{8z}{1+z}

ទាញបាន \sqrt{\dfrac{2}{1+x^2}}+\sqrt{\dfrac{2}{1+y^2}}\leq 2\sqrt{\dfrac{2z}{1+z}}

ម្យ៉ាងវិញទៀត, យើងមាន \sqrt{\dfrac{2}{1+z^2}}\leq\dfrac{2}{1+z}

ទាញបាន \sqrt{\dfrac{2}{1+x^2}}+\sqrt{\dfrac{2}{1+y^2}}+\sqrt{\dfrac{2}{1+z^2}}\leq 2\sqrt{\dfrac{2z}{1+z}}+\dfrac{2}{1+z}

ដូច្នេះ,យើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថា​ 2\sqrt{\dfrac{2z}{1+z}}+\dfrac{2}{1+z}\leq 3

ពិតជាដូចនេះ, យើងមាន 2\sqrt{\dfrac{2z}{1+z}}+\dfrac{2}{1+z}\leq 3\Leftrightarrow 2\sqrt{2z(z+1)}+2\leq 3(1+z)

\Leftrightarrow 2z-2\sqrt{2z(z+1)}+(z+1)\geq 0\Leftrightarrow (\sqrt{2z}-\sqrt{z+1})^2\geq 0 (ពិតជានិច្ច)

ដូចនេះ វិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ ។ សញ្ញា “=” កើតមានពេល x=y=z=1

b).តាង P=a(3+b^2+c^2)+b(3+c^2+a^2)+c(3+a^2+b^2)

យើងបាន P.Q\geq (a+b+c)^2=4

តាង S(a, b, c)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)

មិនធ្វើឲ្យបាត់លក្ខណៈទូទៅ ឧបមាថា c\geq b\geq a

ពេលនោះ S(a, b, c)-S(a+b, c, o)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-(a+b)c(a+b+c)=ab(a+b)-2abc

=ab(a+b-2c)\leq 0 ទាញបាន S(a, b, c)\leq S(a+b, c, 0)

ម្យ៉ាងទៀត: S(a+b, c, 0)=(a+b)c(a+b+c)=2c(a+b)\leq 2(\dfrac{a+b+c}{2})^2=2

ដូចនេះ P=3(a+b+c)+S(a, b, c)\leq 6+2=8

ទាញបាន Q\geq\dfrac{4}{P}\geq\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}

សមភាពកើតមានកាលណា b=c=1, a=0 រឺបណ្តាចំលាស់, ដូចនេះ MinQ=\dfrac{1}{2}

៤).ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម:

a) យើងមាន \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2+z^2+2xy-zx-zy=3\\x^2+y^2+yz-zx-2xy=-1\end{array}\right.\quad

Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} (x+y)^2-z(x+y)+z^2-3=0\\(x-y)^2-z(x-y)+1=0\end{array}\right.\quad (*)

តាង u=x+y; v=x-y\Rightarrow x=\dfrac{u+v}{2}; v=\dfrac{u-v}{2}

ប្រព័ន្ធ (*) ក្លាយទៅជា \left\{\begin{array}{l} u^2-zu+z^2-3=0\\v^2-zv+1=0\end{array}\right.\quad (*’)

ប្រព័ន្ធ (*’) មានចំលើយកាលណា \left\{\begin{array}{l}\Delta_u\geq 0\\ \Delta_v\geq 0\end{array}\right.\quad\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} z^2\leq 4\\z^2\geq 4\end{array}\right.\quad\Leftrightarrow z\pm 2

ចំពោះ z=2 ជំនួសចូល (*’) យើងបាន u=v=1, ទាញបាន \left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=0\end{array}\right.\quad

ចំពោះ z=-2 ជំនួសចូល (*’) យើងបាន u=v=-1, ទាញបាន \left\{\begin{array}{l} x=-1\\ y=0\end{array}\right.\quad

ដូចនេះ ប្រព័ន្ធដែលឲ្យមានចំលើយគឺ (1;0;2), (-1;0;-2)

b) \left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y+z}=\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z+x}=\dfrac{1}{3}\\ \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{4}\end{array}\right.\quad (I)

លក្ខណ្ឌ: xyz\ne 0; (x+y)(y+z)(z+x)\ne 0

(I)\Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} xy+zx=2(x+y+z)\\ yz+yx=3(x+y+z)\\ xz+zy=4(x+y+z)\end{array}\right.\quad

បូកអង្គនឹងអង្គបណ្តាសមីការនៃប្រព័ន្ធយើងបាន xy+yz+zx=\dfrac{9}{2}(x+y+z)

ដូចនោះយើងបាន: \left\{\begin{array}{l} xy=\dfrac{1}{2}(x+y+z)  (1)\\ yz=\dfrac{5}{2}(x+y+z)   (2)\\ xz=\dfrac{3}{2}(x+y+z)  (3)\end{array}\right.\quad

ចែកអង្គនឹងអង្គនៃ (1) នឹង (2) យើងបាន \dfrac{x}{z}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow z=5x,

ចែកអង្គនឹងអង្គនៃ (2) នឹង (3) យើងបាន \dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{3}\Rightarrow y=\dfrac{5}{3}x

ជំនួសចូល (1) យើងបាន \dfrac{5}{3}x^2=\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{5x}{3}+5x)\Leftrightarrow 10x^2-23x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{23}{10}​​​​ (ព្រោះ x\ne 0)

\Rightarrow y=\dfrac{23}{6}; z=\dfrac{23}{2}

ដូចនេះ ប្រព័ន្ធមានចំលើយ (x;y;z)=(\dfrac{23}{10};\dfrac{23}{6};\dfrac{23}{2})